O Sistema de Numeração: Um Problema Didático Delia Lerner e Patricia Sadovsky

 

Como e porque se iniciou a pesquisa sobre a aquisição da noção de número.

A relação entre os grupamentos e a escrita numérica tem sido um problema para as crianças nas ex­periências escolares o que tem le­vado pesquisadores e educadores re­alizarem esforços, com experimen­tos de recursos didáticos diversos, para tornar real a noção de agrupa­mentos numéricos às crianças nas series iniciais. A gravidade do pro­blema foi detectada através de en­trevistas com crianças que não eram trabalhadas nos programas que usa­vam estes recursos.

Elas utilizavam métodos conven­cionais nas operações de adição e subtração (vai um) sem entende­rem os conceitos de unidades, de­zenas e centenas. Mesmo naque­las que pareciam acertar, não de­monstravam entender os algaris­mos convencionais na organização de nosso sistema de numeração. (Lerner,D 1992).

As dificuldades foram detectadas e analisadas em crianças de vários países. Chamou a atenção dos pesquisadores o fato das crianças não entenderem os princípios do sistema numérico. Foi verificado que as práticas pedagógicas não consideravam os aspectos sociais e históricos vivi­dos pelas crianças, ou seja, o dia-dia que traziam para escola não era importante quando os alunos che­gavam à escola, e mesmo no decor­rer do ano letivo; a preocupação es­tava centrada apenas na fixação da representação gráfica.

Era necessário compreender o caminho mental que essas crian­ças percorriam para adquirirem este conhecimento. Para tornar cla­ro esse fenômeno, iniciaram pela elaboração de situações didáticas. Assim foi necessário testá-las em aula para descobrir os aspectos relevantes para as crianças no sis­tema de numeração, tais como: as ideias elaboradas sobre os núme­ros, formulação de problemas e conflitos existentes.

Foi por meio de entrevistas com as crianças de 5 a 8 anos que se es­clareceu o caminho que percorrem, de forma significativa, na construção de conceito de número. Através das ideias, justificações e conflitos de­monstrados nas respostas foi possí­vel traçar novas linhas de trabalho didático.

2 - História dos conhecimentos que as crianças elaboram a respeito da numeração escrita

A pergunta levantada pelos pesqui­sadores é: como as crianças compre­endem e interpretam os conhecimen­tos vivenciados no seu cotidiano no meio social-familiar de utilização da numeração escrita? A hipótese era que as crianças elaboram critérios própri­os para produzir representações nu­méricas e que a construção da nota­ção convencional não segue a ordem da sequência numérica.

Para buscar a resposta às hipóte­ses levantadas, situações experimentais, através de jogos foram projetadas e relacionadas à comparação de nú­meros. Através das respostas das cri­anças entrevistadas chegou-se a su­posição que elas elaboram uma hipó­tese de "quanto maior a quantidade de algarismos de um número, maior é o número", ou "primeiro número é quem manda".

As crianças usam como critério de comparação de números maiores ou menores elaborando a partir da interação com a numeração escrita, quando ainda não conhecem a de­nominação oral dos números que comparam. Ao generalizarem estes critérios, outras crianças mostraram dificuldades com afirmações contra­ditórias quando afirmavam que "o numeral 112 é maior que 89, por que tem mais números, mas logo muda apontando para o 89 como maior por que - 8 mais 9 é 17 -, então é mais."

Assim concluiu-se que a elabora­ção de critério de comparação é im­portante para a compreensão da nu­meração escrita.(p. 81).

 A posição dos algarismos como critério de comparação ou "o primeiro é quem manda"

Um dos argumentos usados pe­las crianças respondentes é que ao comparar os números com a mes­ma quantidade de algarismos, dizi­am que, a posição dos algarismos é determinada pela função no sistema de números (por exemplo: que 31 é maior que 13 por que o 3 vem primeiro). Assim elas descobrem que além da quantidade de algarismos, a magnitude do número é outra carac­terística específica dos sistemas posicionais. 

Tais respostas não são precedidas de conhecimentos das razões que originaram as variações.

Para as crianças da 1a série que ainda não conhecem as dezenas, mas conseguem ver a magnitude do nú­mero, fazem a seguinte comparação: o 31 é maior porque o 3 de 31 é maior que o 2 do 25.

Assim "os dados sugerem que as crianças se apropriam primeiro da es­crita convencional da potência de base."

Papel da numeração falada

Os conceitos elaborados pelas crianças a respeito dos números são baseados na numeração falada e em seu conhecimento descrita conven­cional dos "nós".

"Para produzir os números cuja escrita convencional ainda não havi­am adquirido, as crianças misturavam os símbolos que conheciam colocan­do-os de maneira tal, que se correspondiam com a ordenação dos termos na numeração falada" (p.92). Sendo assim, ao fazerem compara­ções de sua escrita, o fazem como resultado de uma correspondência com a numeração falada, e por ser esta não posicional.

"Na numeração falada a justapo­sição de palavras supõe sempre uma operação aritmética de soma ou de multiplicação - elas escrevem um número e pensam no valor total des­se número. Como exemplo: duzen­tos e cinquenta e quatro -escrevem somando 200+ 50+ 4 ou 200504 e quatro mil escrevem 41000- dando a ideia de multiplicação".

A numeração escrita regular é mais fechada que a numeração falada. É regular porque a soma e a multiplica­ção, são utilizadas sempre pela multi­plicação de cada algarismo pela po­tência da base correspondente, e se somam aos produtos que resultam dessas multiplicações." É fechada porque não existe nenhum vestígio das operações aritméticas racionais envol­vidas, sendo deduzidas a partir da posição que ocupam os algarismos. 
Ex: 4815 = 4x 103 + 8x102+ 1x 101 + 5x10.

Através destes insipientes resulta­dos acima citados, é possível dedu­zir "uma possível progressão nas correspondências entre o nome e a no­tação do número até a compreensão das relações aditivas e multiplicativas envolvidas na numeração falada".

As crianças que realizam a escrita não-convencional o fazem a seme­lhança da numeração falada, pois demonstraram em suas escritas numé­ricas que as diferentes modalidades de produção coexistem para os números posicionados em diferentes in­tervalos da sequência ao escreverem qualquer número convencionalmen­te com dois ou três algarismo em correspondência com a forma oral. Exemplo: podem escrever cento e trin­ta e cinco em forma convencional (135), mas representam mil e vinte e cinco da seguinte forma: 100025. Mesmo aquelas crianças que escrevem convencionalmente os números entre cem e duzentos, podem não genera­lizar esta modalidade a outras cente­nas. Por exemplo, escrevem 80094 (oitocentos e noventa e quatro).

Assim é que a relação numeração fala/numeração escrita não é unidirecional. Observa-se também que a numeração falada intervém na conceitualização da escrita numérica.

O que parece é que algumas cri­anças demonstram que utilizam um critério para elaborar a numeração escrita. Assim acham que mil e cem e cem mil sejam a mesma coisa, pois elaboram o elemento símbolo, quali­ficação e não quantificação. Desta forma as crianças apropriam-se pro­gressivamente da escrita convencio­nal dos números a partir da vinculação com a numeração falada. Mas pergun­ta-se, como fazem isto? Elas supõem que a numeração escrita se vincula estritamente à numeração falada, e sabem também que em nosso sistema de numeração a quantidade de algarismos está relacionada à magni­tude do número representado.

Do conflito à notação convencional

Há momentos em que a criança manipula a contradição entre suas conceitualizações sem conflito. Às vezes centram-se exclusivamente na quantidade de algarismos das suas escritas que produziram, e parece ignorar qualquer outra consideração a respeito do valor dos números re­presentados. Assim também parece claro que não é suficiente conhecer o valor dos números para tomar cons­ciência do conflito entre quantidade de número e a numeração falada.

Em outros momentos a criança parece alternar os sistemas de conceitualizações dos números. Em outro momento, o conflito aparece, pois ao vincular a criança a numera­ção falada na produção da escrita, mostra-se insatisfeita achando que é muito algarismo.

Exemplo: Ao pedir-se para escre­verem seis mil trezentos e quarenta e cinco, fazem 600030045. Ao mes­mo tempo escrevem 63045. Isto mostra que nesse momento encon­tra-se em conflito pela aproximação da escrita convencional e a falada.

O conflito é percebido após com­pararem e corrigirem a escrita numé­rica feita por eles mostrando uma solução mais ou menos satisfatória.

É percebido que pouco a pouco a criança vai tomando consciência das contradições procurando superar o conflito, mas sem saber como; pou­co a pouco através da re-significação da relação entre a escrita e a numera­ção falada elaboram ferramentas para superar o conflito. Essa parece ser uma importante etapa para progredir na escrita numérica convencional. Portanto, as crianças produzem e in­terpretam escritas convencionais an­tes de poder justificá-las através da "lei de agrupamento recursivo".

Sendo assim torna-se importante no ensino da matemática considerar a natureza do objeto de conhecimen­to como valorizar as conceitualizações das crianças à luz das propriedades desse objeto.

3 - Relações entre o que as Crianças sabem e a organização posicional do sistema de numeração.

Devido a convivência com a lingua­gem numérica não percebemos a distinção entre a propriedade dos números e a propriedade da notação numé­rica, ou seja, das propriedades do sis­tema que usamos para representá-lo. 
As propriedades dos números são universais, enquanto que as leis que regem os diferentes sistemas de numeração não o são. Por exemplo: oito é menor que dez é um conceito uni­versal, pois em qualquer lugar, tem­po ou cultura será assim. O que muda é a justificativa para esta afirmação, pois varia de acordo com os sistemas qualitativos e quantitativos dos núme­ros ou posicionai dos algarismos.

A posicionalidade é responsável pela relação quantidade de algaris­mos e valor do números.

A criança começa pela detecção daquilo que é observável no contexto da interação social e a partir deste ponto os números são baseados na numera­ção falada e em seu conhecimento da escrita convencional ("dos nós").

4 - Questionamento do enfoque usualmente adotado para o sistema de numeração

O ensino da notação numérica pode ter modalidade diversa como: trabalhar passo a passo através da administração de conhecimento de forma "cômoda quotas anuais" - me­tas definidas por série - ou através do saber socialmente estabelecido. 
Pergunta-se: é compatível traba­lhar com a graduação do conheci­mento? Ou seja, traçar um caminho de início e fim, determinado pelo sa­ber oficial? E qual é o saber oficial? E o que se estar administrando de co­nhecimento numérico nas aulas?

O processo passo a passo e aperfeiçoadamente, não parece com­patível com a natureza da criança, pois elas pensam em milhões e milhares, elaboram critérios de comparação fun­damentados em categorias. Podem conhecer números grandes e não sa­ber lidar com os números menores.

Os procedimentos que as crian­ças utilizam para resolver as opera­ções têm vantagens que não podem ser depreciadas se comparadas com procedimentos usuais da escola.

No esforço para alcançar a com­preensão das crianças no sistema de numeração e não a simples memo­rização é que muitos educadores tem utilizado diferentes recursos para materializar o grupamento numérico. Alguns utilizam sistemas de códigos para traduzir símbolos dando a cada grupamento uma figura diferente como, triângulo para potências de 10, quadradinho para potências de 100, ou a semelhança do sistema egípcio para trabalhar a posicionalidade de, um número ou empregam o ábaco como estratégia para as noções de agrupar e reagrupar a fim de levar a compreensão da posicionalidade.

No entanto todos estes pressupos­tos não são viáveis por razões próprias da natureza da criança, como também considerando o ambiente social, no qual convivem com os números.

As crianças buscam desde cedo a notação numérica. Querem saber o mais cedo possível, como funcio­na, para que serve, como e quando se usa. Inicialmente, não se interes­sam pela compreensão dos mesmos e sim pela sua utilidade. Dessa for­ma, a compreensão passa a ser o ponto de chegada e não de partida.

Outro problema com as aulas de aritmética é que os professores ofe­recem respostas para aquilo que as crianças não perguntam e ainda ig­noram as suas perguntas e respostas.

5- Mostrando a vida numérica da aula

O ensino do sistema de numera­ção como objeto de estudo passa por diversas etapas, definições e redefinições, para então, ser devida­mente compreendida.

Usar a numeração escrita envol­ve produção e interpretação das es­critas numéricas, estabelecimento de comparações como apoio para resol­ver ou representar operações.

Inicialmente o aprendiz, ao utili­zar a numeração escrita encontra pro­blemas que podem favorecer a me­lhor compreensão do sistema, pois através da busca de soluções torna possível estabelecer novas relações; leva à reflexões, argumentações, a validação dos conhecimentos adqui­ridos, e ao inicio da compreensão das regularidades do sistema.

O sistema de numeração na aula.

A seguir serão discutidas algumas ideias sobre os princípios que orien­tam o trabalho didático através da reflexão da regularidade no uso da numeração escrita.

As regularidades aparecem como justificação das respostas e dos procedimentos utilizados pelas crianças ou como descobertas, necessários para tornar possível a generalização, ou a elaboração de procedimentos mais econômicos. P.117

Assim, a análise das regularidades da numeração escrita é uma fonte de insubstituível no progresso da compreensão das leis do sistema.

O uso da numeração escrita como ponto de partida para a reflexão deve, desde o inicio ser trabalhada com os diferentes intervalos da sequência nu­mérica, através de trabalho com pro­blemas, com a numeração escrita desafiadora para a condução de resolu­ções, de forma que cada escrita se construa em função das relações significativas que mantêm com as outras. Os desafios e argumentações le­vam as crianças serem capazes de resolver situações-problema que ain­da não foram trabalhadas e à sociali­zação do conhecimento do grupo.

As experiências nas aulas são de caráter provisório, às vezes comple­xas, mas são inevitáveis, porque no trabalho didático é obrigado a consi­derar a natureza do sistema de nu­meração como processo de constru­ção do conhecimento.

No trabalho de ensinar e apren­der um sistema de representação será necessário criar situações que permi­tam mostrar a organização do siste­ma, como ele funciona e quais suas propriedades, pois o sistema de nu­meração é carregado de significados numéricos como, os números, a re­lação de ordem e as operações arit­méticas. Portanto comparar e operar, ordenar, produzir e interpretar, são os eixos principais para a organização das situações didáticas propostas.

Situações didáticas vinculadas à relação de ordem

O entendimento do sistema deci­mal posicionai está diretamente ligada a relação de ordem. Por isto as atividades devem estar centradas na comparação, vinculada à ordenação do sistema. Alguns exemplos po­dem melhorar o entendimento des­sas relações, são elas: simulação de uma loja para vender balas, em pa­cotes de diferentes quantidades. Ao sugerir que as crianças decidam qual o preço de cada tipo de pacote, es­tarão fazendo comparações em con­junto com os colegas, notações, com­param as divergências, argumentam e discutem as ideias, orientadas por uma lógica. Assim os critérios de comparação podem não ser coloca­dos imediatamente em ação por to­das as crianças, pois algumas irão realizar com maior ou menor esfor­ço o ordenamento, outras ordenam parcialmente alguns números, e os demais se limitam a copiar a que os outros colegas fizeram. Todos nesta atividade se interagem. Os primeiros têm a oportunidade de fundamentar sua produção e conceitualizar os re­cursos que já utilizavam. As crianças que ordenam parcialmente aprendem ao longo da situação, levantam per­guntas e confirmam as ideias que não tinham conseguido associar. As cri­anças que não exteriorizaram nenhu­ma resposta, também se indagam e podem obter respostas que não ti­nham encontrado. As crianças que se limitam copiar, é importante que o professor as estimule com interven­ções orientadas para desenvolver nelas o trabalho autônomo. Também devem ser estimuladas a pergunta­rem a si mesmas antes de ir aos ou­tros, recorrer ao que sabem e des­cobrir seus próprios conhecimentos, e que são capazes de resolver os pro­blemas. Enfim, deve ser incentivada a autonomia.

Uma segunda experiência é aquela que pode usar materiais com nume­ração sequencial com fita métrica, régua, paginação de livros, numera­ção das casas de uma rua. Todas es­tas atividades ajudam as crianças buscarem por si mesmas as informa­ções que precisam.

No trabalho conjunto todas as cri­anças tem oportunidade de aprender, mesmo que em ritmos diferentes, aprendem com o trabalho cooperati­vo na construção do conhecimento.

Outra proposta de atividade pode ser direcionada a interpretação da escrita numérica no contexto de uso social do cotidiano de cada uma. Pode ser realizado através de: comparação de suas idades, de preços, datas, medidas e outras. Experiências como: formar lista de preços, fazer notas fis­cais, inventariar mercadorias, etc. Atra­vés de experiências semelhantes, é possível levar as crianças considerar a relevância da relação de ordem numérica. As atividades desenvolvi­das produzem efeito no sentido de modificar a escrita, ou da interpreta­ção originalmente realizada. A longe prazo, devem ser capazes de montar e utilizar estratégias de relação de or­dem para resolver problemas de pro­dução e interpretação.

Se nas atividades a professora detecta que determinado número tem diferentes notações na turma, deve trabalhar com argumentações até que cheguem a interpretação correta.

Percebe-se através dos argumentos utilizados pelas crianças a busca pela relação de ordem, mesmo naquelas que utilizaram anotações não conven­cionais, a ponto de transformarem apartir de sucessivas discussões e objeções que elas fazem a si próprias.

A relação numeração falada/nu­meração escrita é um caminho que as crianças transitam em duas direções: da sequência oral como recur­so para compreensão da escrita nu­mérica e como sequência da escrita como recurso para reconstruir o nome do número.

Para isso é importante desenvolver atividades que favoreçam a aplicação de regularidade podendo ser observado nas situações de comparação, de produção ou interpretação.

Mas pergunta-se: quais as regularidades necessárias trabalhar na contagem dos números? Estabelecer as regularidades tem o objetivo de tornar possível a formulação de problemas dirigidos às crianças, mas também para que adquiriram ferramentas para auto-criticar as escritas baseadas na correspondência com a numeração falada e na contagem dos números. Exemplo: as dezenas com dois algarismos, as centenas com três algarismos. Depois do nove vem o zero e passa-se para o número seguinte.

Como intervir para que as crian­ças avancem na manipulação da se­quência oral? Pode-se sugerir as cri­anças que procurem um material que tenha sequência correspondente e descubra-se por si mesma a regula­ridade. Buscar nos números de um a cem quais os que terminam em nove, identificar e nomear os núme­ros seguintes do nove. Esta é uma atividade de interpretação e tão im­portante quanto a produção na con­tagem dos números. Exemplo: Como descobrir as semelhanças e diferen­ças entre os números de um a qua­renta. Localizar em todos os núme­ros de dois dígitos que terminam em nove e anotar qual é o seguinte de cada um deles. Esta atividade pode ser encontrada em materiais como calendário, régua e fita métrica.

Um critério importante para tra­balhar é estabelecer primeiro as regularidades para um determinado intervalo. A partir daí passar a sua generalização através do uso de ma­teriais que contenham números mai­ores. Só então o indivíduo começa a questionar o seu significado.

As crianças são capazes de inventar algarismos próprios e colocam em jogo as propriedades das opera­ções como conhecimento implícito sobre o sistema de numeração, im­portante para descobrir as leis que regem o sistema. Ao estudar o que acontece quando se realizam as so­mas é possível estabelecer regularidades referentes ao que muda e ao que se conserva.

As atividades como colocar pre­ços em artigos de lojas, contar no­tas de dez em dez, fazer lista de pre­ço, colocar novos preços aos que já tem, contar livros das prateleiras das estantes de uma biblioteca, e ao comparar a numeração das páginas de um jornal, é possível analisar o que transforma nos números quan­do lhes soma dez. utilizar dados nos aspectos multiplicativos em que cada ponto do dado vale dez e vão ano­tando a pontuação de cada um dos participantes do grupo. A partir desta atividade são levadas a refletir sobre o que fizeram e sobre a função multiplicativa e relacioná-la com a interpretação aditiva. Desta forma, levá-los a uma maior compreensão do valor posicional. Através de diferentes comparações estabelecem regularidades numéricas para os dezes e os cens e refletir sobre a or­ganização do sistema.

As crianças têm oportunidade de formular regras e leis para as opera­ções com números e concentram nas representações numéricas.

Na segunda série a calculadora pode ser introduzida, desde que de forma adequada, pois leva as crianças aprofundarem suas reflexões, to­marem consciência das operações numéricas e torna possível que cada um detecte por si mesma quando é que estão corretas e o que não está certo, auto-corrija os erros e formu­le regras que permitam antecipar a operação que levará ao resultado procurado.

Assim, refletir sobre o sistema de numeração e sobre as operações aritméticas levam as crianças a for­mularem leis para acharem proce­dimentos mais econômicos. Leva a indagações das razões das regula­ridades de forma significativa. Bus­ca resposta para organizar os siste­mas, para novas descobertas da numeração escrita.